本文是范畴论（category theory）的一个小广告，希望解答初学者的三个基本问题：
• 什么是范畴论？
• 是否应该学习范畴论？
• 怎样学习范畴论？
一、什么是范畴论？
粗略地说，范畴论致力于揭示抽象数学结构之间的联系。如果把不同的数学结构想象为一座城市中的楼房、绿地、河流、湖泊、山丘，那么范畴论就像一架航拍器。随着高度的上升，地面的细节逐渐模糊，但航拍器却可以越发清晰地勾勒出整个城市的脉络。
例如，站在数学城市的地面上，下列数学结构随处可见：
• 两个集合X, Y的笛卡尔积X×Y；
• 域K上的两个向量空间X, Y的直和X⊕Y；
• 两个实数x, y的最小元min{x,y}；
• 集合S的两个子集X, Y的交X∩Y；
• 两个自然数x, y的最小公倍数gcd(x,y)。
尽管这些概念看起来很不一样，但在范畴论航拍器眼中，它们都有一个相同的轮廓，叫做乘积（product）。
让我们再看一些更深刻的例子：
• 集合X上的离散拓扑D(X)；
• 集合X上的自由群F(X)；
• 集合X上的自由向量空间V(X)；
• 拓扑空间X的Stone-Čech紧化β(X)；
• 整环R的分式域K(R)。
范畴论航拍器告诉我们，它们都由相应的遗忘/嵌入函子的左伴（left adjoint）给出。
如果给范畴论航拍器加装一块强化范畴（enriched category）滤镜，你会惊奇地发现以下三种经典数学结构也披着相同的马甲，叫做lax algebra：
• 偏序集；
• 度量空间；
• 拓扑空间。
一个范畴论搬砖者（category theorist）的日常，就是操纵着这架航拍器，探索地面上无法纵览的数学城市脉络。
二、是否应该学习范畴论？
范畴论已经渗透到数学的几乎所有分支，以及物理、计算机的一些领域。在其他数学分支里，特别是代数、几何的相关领域，范畴论常常被当做一门基本的叙事语言；例如，许多流行的同调代数教材，都会先用一个章节来介绍范畴（category）、函子（functor）、自然变换（natural transformation）、极限（limit）、伴随（adjunction）等范畴论的概念。这是许多本科生、研究生学习范畴论的首要动机。
同时，相比公认作为现代数学基础的公理集合论，范畴论更强调态射（morphism），而非对象（object）或元素（element）。例如，一个普通青年会把一个群（group）定义为一个带有二元运算*的集合G，满足
• 对任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)，
• 存在e∈G，对任意a∈G有a*e=e*a=a，
• 对任意a∈G，存在b∈G使得a*b=b*a=e；
而一个范（er）畴（bi）青年会把一个群定义为满足下列三个交换图（此处略去）的三个映射m:G×G→G，e:1→G，i:G→G。一旦接受了这样的思想升（du）华（hai），你就会发现万物皆箭头，整个世界全是箭头，从此打开新世界的大门。
最后，范畴论不仅为其他数学（或物理、计算机）分支提供语言和工具，它自身也是一套有趣而丰富的理论。如果你符合以下描述，不妨考虑选择范畴论作为研究生的方向（注意，此处夹带私货）：
• 认为偏序集、度量空间、拓扑空间、群、环、模（module）都是非常形象、一点也不抽象的数学结构；
• 认为字母、箭头、交换图和蔼可亲，但看到具体的数值计算就头疼；
• 希望找到一个进可做理论、退可选应用的研究方向。
三、怎样学习范畴论？
下面推荐几本适合初学者的范畴论教材：
• Tom Leinster的《Basic Category Theory》：最友好、最易读的范畴论入门教材，如果只打算将范畴论作为工具，想了解范畴论里最重要的一些核心概念，可选择此书；
• Emily Riehl的《Category Theory in Context》：适合对范畴论有更高追求的同学，相比《Basic Category Theory》难度略高、内容更丰富；
• Brendan Fong和David I. Spivak的《Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory》：应用范畴论的入门教材，从零开始讲授范畴论在物理、计算机等领域的应用，适合对范畴论有兴趣的非数学系同学，也适合对应用有兴趣的数学系同学。